Démonstration du théorème de Bernoulli à partir du Théorème d'Euler dans le cas d'un écoulement stationnaire et potentiel

Dans le cas d'un fluide incompressible en Ecoulement stationnaire et en Ecoulement potentiel (non tourbillionnaire):
- \(\frac{\partial \vec v}{\partial t}=\vec 0\)
- \(\vec{rot}(\vec v)=\vec 0\)
On a donc: $$(\vec v.\vec \nabla)\vec v=\vec{grad}(\frac{v^2}{2})+\vec{rot}(\vec v)\wedge \vec v$$

L'équation d'Euler devient:
$$\rho.\vec{grad}(\frac{v^2}{2})=\rho.\vec g-\vec{grad}(P)$$
Or $$\rho.\vec g=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -\rho g\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial \rho g z}{\partial x}\\ \frac{\partial \rho g z}{\partial y}\\ \frac{\partial \rho g z}{\partial z}\end{pmatrix}$$
$$=-\vec{grad}(\rho g z)$$

Finalement, l'équation d'Euler devient:
$$\vec{grad}(P+\frac 12 \rho v^2+\rho g z)=\vec 0$$
$$P+\frac 12\rho v^2+\rho g z=Constante$$

Démonstration du théorème de Bernoulli pour un écoulment stationnaire et rotationnel

Equation d'Euler devient:
$$\rho(\vec{grad}(\frac{v^2}{2})+\vec{rot}(\vec v)\wedge \vec v)=-\vec{grad}(\rho gz)-\vec{grad}(P)$$

On calcule la circulation élémentaire le long d'une Lignes de courant
$$\left[\rho(\vec{grad}(\frac{v^2}{2})+\vec{rot}(\vec v)\wedge \vec v)=-\vec{grad}(\rho gz)-\vec{grad}(P)\right].\vec {dl}$$

$$d\left[P+\rho g z+\frac 12\rho v^2\right]=0$$

Alors, le long d'une ligne de courant:
$$P+\rho g z+\frac 12\rho v^2= Constante$$